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Calculadora de desarrollo de zona esférica

Una banda de esfera entre dos planos paralelos, hecha con una pila de conos poco profundos. Introduce el diámetro de la esfera, la altura de los dos planos y el número de conos; obtienes un desarrollo de anillo por cada banda.

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Los archivos PDF 1:1 y DXF de este desarrollo se hacen en Trueflat, listos para imprimir o cortar con plasma, láser o chorro de agua. Funciona sin conexión en la obra.

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7.631,9 mm1.248,7 mm
Desarrollo: corta por el contorno grueso, dobla por las líneas azules discontinuas; las líneas finas son de trazado

Costura

309,9mm

Aproximado, dentro de ±0,9 mm

Longitud de corte
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Chapa necesaria
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Cómo trazarlo

  1. Divide el arco

    En el alzado, divide el contorno de la esfera entre los dos planos en pasos angulares iguales, uno por cada cono.

  2. Traza las cuerdas

    Une los puntos de división vecinos con líneas rectas. Cada línea es la generatriz de un cono, y todas tienen la misma longitud.

  3. Prolonga cada cuerda hasta el eje

    Prolonga cada generatriz hasta el eje para hallar el vértice de ese cono. Las distancias del vértice a los dos extremos de la generatriz son sus radios de desarrollo.

  4. Traza cada anillo

    Para cada banda, traza los dos arcos y lleva sobre el arco exterior la circunferencia de su círculo mayor. Una banda que queda justo en el ecuador es una tira recta.

  5. Numera las piezas

    Marca cada pieza con su número de banda y el borde que se une a la banda siguiente; después añade los márgenes.

Conviene saber

  • Este desarrollo es aproximado; la tarjeta de resultado muestra qué tan cerca está.
  • Fuente: Kittredge, The New Metal Worker Pattern Book (1917), Problem 124 "To Construct a Ball in any Number of Zones", Figs. 452–458, p. 252. El libro no dice si los conos quedan dentro de la esfera o sobre ella; Trueflat pone sus extremos sobre la esfera

Método y fórmula

Una esfera no se puede desenrollar, pero una banda de ella se puede aproximar con conos truncados cuyos extremos quedan sobre la esfera. Cada cono se desarrolla de forma exacta; la aproximación está solo en sustituir el perfil curvo por líneas rectas.

  • Generatriz del cono (la cuerda) c = 2R sin(Δφ ÷ 2), igual para todas las bandas, donde Δφ es el paso angular.
  • Radios de desarrollo c × ρ ÷ Δρ para cada extremo, donde ρ es el radio del anillo y Δρ la diferencia entre los dos radios de anillo de una banda.
  • Distancia a la esfera como máximo R(1 − cos(Δφ ÷ 2)), en el centro de cada banda.
  • Área inferior a la de la zona real por el factor cos(Δφ ÷ 2).

Las alturas de los planos se miden desde el centro de la esfera, negativas por debajo de él. Cada anillo debe conservar un radio de al menos 5 mm, así que una zona no puede llegar a un polo.

Ejemplo resuelto

D = 200 mm, planos a −30 y 50 mm, 4 conos: paso angular 11,86°, generatriz del cono 20,67 mm. La banda inferior tiene radios de 477,44 y 498,11 mm y un ángulo del sector de 71,93°; la banda superior 233,03 y 212,36 mm, 146,81°. Las bandas quedan a menos de 0,54 mm de la esfera, y su área es 0,9946 de la zona real.

Preguntas

¿Qué precisión tiene el desarrollo de una zona?

Cada cono es exacto, pero una pila de conos solo aproxima una esfera. Las bandas quedan a menos de R(1 − cos(Δφ ÷ 2)) de la esfera: 0,54 mm en el ejemplo de 200 mm con 4 conos. Al duplicar el número de conos esa distancia baja a una cuarta parte, aproximadamente.

¿Zonas o gajos: cuál uso?

Las zonas se rolan como conos normales y no necesitan prensado, pero dejan pequeñas aristas en las uniones. Los gajos hay que conformarlos, pero dan una superficie más lisa y pueden cerrar en los polos. Usa zonas para una banda, un tramo de depósito o una cúpula que puedas apilar en anillos.

¿Cómo introduzco la altura de los planos?

Como distancias desde el centro de la esfera: positivas por encima, negativas por debajo. El plano inferior debe quedar por debajo del superior y los dos deben estar dentro de la esfera.

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